সরল রেখা

সম্পূর্ণ পিডিএফ এর জন্য ফেছবুকে অথবা ইমেইল এ যোগাযোগ করুন 

সরলরেখা :  

কোন কার্তেসীয় সমতলে দুটি বিন্দুর সমদূরবর্তী বিন্দু সমূহের সঞ্চারপথকে সরলরেখা বলে।

সরলরেখার ঢাল (Slope of a line) : 

কোন সরলরেখা  x  অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তার ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেনেটর (tan) মানকে সরলরেখাটির ঢাল বলে এবং ঢালকে  m  দ্বারা সূচিত করা হয়।

 চিত্রে AB রেখাটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে Ѳ কোণ তৈরি করে। (0° <Ѳ<180°; Ѳ≠90°) তৈরি করে।

 .:. AB রেখার ঢাল m = tan Ѳ

PQ রেখাটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে (180° – α) কোণ উৎপন্ন করলে 

 .:. PQ রেখার ঢাল, m = tan(180° - α)= -tan α . Ѳ কোণের পরিমাণ 90° < Ѳ <180° হলে ঢাল ঋণাত্মক হবে

PQ সরলরেখাটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে Ѳ কোণ উৎপন্ন করে এবং A(x₁,y₁) ও B(x₂,y₂,) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে

: A(x₁,y₁), B(x₂,y₂,),C(x₃y₃) বিন্দু তিনটি সমরেখা হওয়ার শর্ত

X অক্ষ ও y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 

 x অক্ষের সমান্তরাল যেকোন সরলরেখা সমীকরণ y = b
 y-অক্ষের সমান্তরাল যেকোন সরলরেখা সমীকরণ x = a

মন্তব্য : b ধনাত্মক হলে সরলরেখাটি x অক্ষের b একক উপর এবং b ঋণাত্মক হলে সরলরেখাটি x অক্ষের  b একক নীচে অবস্থান করবে।  b=0 হলে রেখাটি x অক্ষের সাথে মিলে যাবে।

 X অক্ষের সমীকরণ y = 0

আবার  a ধনাত্মক  হলে সরলরেখা  y  অক্ষের  a  একক ডানে  এবং a  ঋণাত্মক হলে সরলরেখাটি  y অক্ষের  a এ একক বামে অবস্থান করবে।  a = 0 হলে রেখাটি y অক্ষের সাথে মিলে যাবে।

 y অক্ষের সমীকরণ সরলরেখার আদর্শ সমীকরণ x=0

বিন্যাস

এইচ এস সি পরিক্ষা সহ বিভিন্ন প্রতিযোগিতা মূলক পরীক্ষার জন্য বিন্যস ও সমাবেশ গুরুত্বপূর্ণ বিষয় । এখানে সাধারণ কিছু নিয়ম আলোচন করা হয়েছে। সম্পূর্ণ পিডিএফ এর জন্য ফেছবুকে অথবা ইমেইল এ যোগাযোগ করুন 

Type-1: 

Head Information:  n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস হতে r সংখ্যক নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা

Example: admire শব্দটির বর্ণগুলকে  কত প্রকারে বিন্যস্ত করা যাবে?

Solve: বর্ণের সংখ্যা = 6 এবং বর্ণগুলো ভিন্ন ভিন্ন

:. নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা   =     6! =  720

Note: Limitations of this rule:

•     সকল বস্তুর মধ্যে সবাই ভিন্ন হবে
•         যাদের সাজানো হবে তাদের মধ্যে কোন পুনরাবৃত্তি থাকবে না

Type-2; [সব জিনিস ভিন্ন ভিন্ন নয়]

Head Information:  n সংখ্যক জিনিসের মধ্যে r সংখ্যক একজাতীয়, s সংখ্যক অন্য একজাতীয় এবং t সংখ্যক অন্য আর এক জাতীয় হলে, নির্ণেয় বিন্যাসের সংখ্যা হবে 

Example: PARALLEL শব্দটির অক্ষরগুলাের সবগুলো একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?  

Solve: PARALLEL শব্দটিতে মোট ৪টি অক্ষর আছে যার মধ্যে 3টি Lও 2 টি A আছে।

Type-3

Head imanimation: n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু হতে r সংখ্যক বস্তু যদি আমরা এমনভাবে সাজাই যেখানে r সংখ্যক বস্তু সবাই ভিন্ন ভিন্ন নয় সেক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা     

Example: 1. একটি প্রফেসর পদের " 4 জন প্রার্থি 6 জন লোকের ভোটে কত প্রকার ভোটে নির্বাচিত হবে?

2. তিনটি পোষ্টে পাঁচটি চিঠি কতভাবে দেখা যায়। Ans: 3^5 = 243

3. পাঁচটি আঙ্গুলে চারটি আংটি কতভাবে পড়ানো যায়।Ans: 5^4=625

Note: Limitation of this rule;

(i) যাদের থেকে নেয়া হচ্ছে তারা সবাই ভিন্ন ভিন্ন হবে।

(ii) বিন্যাসে একই বস্তু একাধিকবার উপস্থিত থাকবে। |

Type-4;

Head Information : কতগুলো বর্ণ বা বস্তু গুনি পরিবর্তন করবে না ।

Applied Method: যারা গুনি পরিবর্তন করবে না তাদের সাজাবো না।

Example: কোন স্বর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে Director শব্দের বর্ণগুলােকে কতভাবে সাজানো যায়?

Solve; যেহেতু স্বরবর্ণগুলি সাজাবো না সেহেতু 5টি বর্ণকে এটি স্থানে সাজানো যায়

  Ans: 60

যেহেতু দুটি r রয়েছে তাই ২! দিয়ে ভাগ করা হয়েছে

Type:5;

Head Information: কতগুলো বর্ণ বা বস্তু সর্বদাই একত্রে থাকবে।

Applied Method: যারা একত্রে থাকবে তাদেরকে একটি বর্ণ হিসেবে ধরে বিন্যাস করতে হবে। এরপর দের একটি বর্ণ ধরা হয়েছে তাদের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তাকে পূর্বোক্ত বিন্যাস সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে মোট বিন্যাস পাওয়া যাবে।

Example:  Triangle শব্দটি কীভাবে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো সর্বদা একত্রে থাকে?

Solve;   মোট বর্ণ ৪টি। স্বরবর্ণ 3টিকে  1 টি ধরলে বর্ণ হয় 6 টি